Energía cinética y momento lineal

15 julio, 2008 at 5:19 pm (Física) (, , )

En realidad esto es una pequeña paranoia que se me ocurrió hojeando un libro de Física…no le acabo de ver el sentido, y voy a preguntar en el Foro de Física a ver si tiene alguna explicación o simplemente es una “paja matemática”. De paso, esta entrada servirá para comprobar qué tal funciona Latex en WordPress.

La cuestión es que me planteé que energía cinética y momento, a pesar de ser cosas distintas, tienen una formulación muy similar:

Energía cinética-> Ec=\dfrac{1}{2}mv^2   (i)

Momento lineal-> p=mv   (ii)

Y de golpe lo que se me ocurrió es que…si derivas (i) respecto a la velocidad, ¡da (ii) ! Es decir:

\dfrac{d(Ec)}{dv}=\dfrac{d(\dfrac{1}{2}mv^2)}{dv}=mv=p   (iii)

O lo que es igual (ya puestos a hacer el moñas con lo más básico del cálculo):

dEc=pdv

\int dEc=\int pdv=\int (mv)dv=m\int(v)dv=\dfrac {1}{2}mv^2

Todo esto no sé si tiene algún significado físico o son tan solo idas de olla con la matemática. Quiero decir…según todo eso, se deduce algo como que: la variación de la energía cinética con respecto al tiempo de una partícula es igual al momento de dicha partícula. No, yo tampoco le acabo de ver el sentido.

Hum, acabo de hacer algunos cálculos siguiendo con toda esta pequeña paranoia. La segunda ley de Newton nos dice que:

F=ma=m\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{mdv}{dt}=\dfrac{dp}{dt}    (iv)

Podemos relacionar esta expresión con (iii) , par lo que debemos escribirla en función de la velocidad también. La regla de la cadena nos dice:

\dfrac{df}{dx}=\dfrac{df}{du}\dfrac{du}{dx}

Si tomamos {df}\rightarrow{dp} {dx}\rightarrow{dt}  y  {du}\rightarrow{dv} , nos queda:

F=\dfrac{dp}{dt}=\dfrac{dp}{dv}\dfrac{dv}{dt}

Sustituyendo con (iii) , obtenemos:

F=\dfrac{d^2(Ec)}{dv^2}\dfrac{dv}{dt}

F=a\dfrac{d^2(Ec)}{dv^2}

Es decir, una cosa realmente extraña: la fuerza es igual a la aceleración por la derivada segunda de la energía cinética respecto a la velocidad dos veces. Lo más gracioso es que todo concuerda con lo que ya sabemos, fijémonos:

\dfrac{F}{a}=m=\dfrac{d^2(Ec)}{dv^2}     (v)

En otras palabras: derivando dos veces la energía cinética respecto a la velocidad obtenemos la masa. Suena muy, muy bizarro, pero es totalmente correcto (o eso me parece de momento), ya que,derivando otra vez (iii) obtenemos eso precisamente (por supuesto, considerando la masa en todo momento como constante):

\dfrac{dEc}{dv}=mv

\dfrac{d^2(Ec)}{dv^2}=\dfrac{d(mv)}{dv}=m

O sea,  (v) . ¿Qué conclusión sacamos de todo esto? Que las matemáticas son una poderosa herramienta que nos permite divagar y ver cosas que no esperamos, pero que, si son correctamente utilizadas, nos dan resultados coherentes con lo que ya sabemos. Físicamente, todo lo que he hecho no sé si tiene alguna explicación, pero, como vemos, al final todo nos lleva a lo que ya sabíamos.

Sí, sé que la mayoría de los que leéis esto encontráis francamente aburrido estas cuestiones, pero al principio dije que hablaría de Física, y de Física hablo. Además, este tipo de cosas que se me ocurren prefiero plasmarlas y no dejar que se pierdan en el éter de los pensamientos olvidados.

Creo que no he cometido ninguna barbaridad matemática, pero aun así acepto críticas, correcciones e insultos de todo tipo.

P.D: Dios, qué a gusto se siente uno viendo qué bonito queda todo escrito en Latex, aunque no le interese a nadie.

Est sularis oth mithas

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