Energía cinética y momento lineal

15 julio, 2008 at 5:19 pm (Física) (, , )

En realidad esto es una pequeña paranoia que se me ocurrió hojeando un libro de Física…no le acabo de ver el sentido, y voy a preguntar en el Foro de Física a ver si tiene alguna explicación o simplemente es una “paja matemática”. De paso, esta entrada servirá para comprobar qué tal funciona Latex en WordPress.

La cuestión es que me planteé que energía cinética y momento, a pesar de ser cosas distintas, tienen una formulación muy similar:

Energía cinética-> Ec=\dfrac{1}{2}mv^2   (i)

Momento lineal-> p=mv   (ii)

Y de golpe lo que se me ocurrió es que…si derivas (i) respecto a la velocidad, ¡da (ii) ! Es decir:

\dfrac{d(Ec)}{dv}=\dfrac{d(\dfrac{1}{2}mv^2)}{dv}=mv=p   (iii)

O lo que es igual (ya puestos a hacer el moñas con lo más básico del cálculo):

dEc=pdv

\int dEc=\int pdv=\int (mv)dv=m\int(v)dv=\dfrac {1}{2}mv^2

Todo esto no sé si tiene algún significado físico o son tan solo idas de olla con la matemática. Quiero decir…según todo eso, se deduce algo como que: la variación de la energía cinética con respecto al tiempo de una partícula es igual al momento de dicha partícula. No, yo tampoco le acabo de ver el sentido.

Hum, acabo de hacer algunos cálculos siguiendo con toda esta pequeña paranoia. La segunda ley de Newton nos dice que:

F=ma=m\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{mdv}{dt}=\dfrac{dp}{dt}    (iv)

Podemos relacionar esta expresión con (iii) , par lo que debemos escribirla en función de la velocidad también. La regla de la cadena nos dice:

\dfrac{df}{dx}=\dfrac{df}{du}\dfrac{du}{dx}

Si tomamos {df}\rightarrow{dp} {dx}\rightarrow{dt}  y  {du}\rightarrow{dv} , nos queda:

F=\dfrac{dp}{dt}=\dfrac{dp}{dv}\dfrac{dv}{dt}

Sustituyendo con (iii) , obtenemos:

F=\dfrac{d^2(Ec)}{dv^2}\dfrac{dv}{dt}

F=a\dfrac{d^2(Ec)}{dv^2}

Es decir, una cosa realmente extraña: la fuerza es igual a la aceleración por la derivada segunda de la energía cinética respecto a la velocidad dos veces. Lo más gracioso es que todo concuerda con lo que ya sabemos, fijémonos:

\dfrac{F}{a}=m=\dfrac{d^2(Ec)}{dv^2}     (v)

En otras palabras: derivando dos veces la energía cinética respecto a la velocidad obtenemos la masa. Suena muy, muy bizarro, pero es totalmente correcto (o eso me parece de momento), ya que,derivando otra vez (iii) obtenemos eso precisamente (por supuesto, considerando la masa en todo momento como constante):

\dfrac{dEc}{dv}=mv

\dfrac{d^2(Ec)}{dv^2}=\dfrac{d(mv)}{dv}=m

O sea,  (v) . ¿Qué conclusión sacamos de todo esto? Que las matemáticas son una poderosa herramienta que nos permite divagar y ver cosas que no esperamos, pero que, si son correctamente utilizadas, nos dan resultados coherentes con lo que ya sabemos. Físicamente, todo lo que he hecho no sé si tiene alguna explicación, pero, como vemos, al final todo nos lleva a lo que ya sabíamos.

Sí, sé que la mayoría de los que leéis esto encontráis francamente aburrido estas cuestiones, pero al principio dije que hablaría de Física, y de Física hablo. Además, este tipo de cosas que se me ocurren prefiero plasmarlas y no dejar que se pierdan en el éter de los pensamientos olvidados.

Creo que no he cometido ninguna barbaridad matemática, pero aun así acepto críticas, correcciones e insultos de todo tipo.

P.D: Dios, qué a gusto se siente uno viendo qué bonito queda todo escrito en Latex, aunque no le interese a nadie.

Est sularis oth mithas

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19 comentarios

  1. Elendor said,

    Ostia que grande, la relaciópn entre energía cinética y momento si se me había ocurrido, ¡pero todo lo demás no! ¿Lo has preguntado en la web de Física? Es que no he encontrado ningún topic xD

  2. olga carol said,

    a mi si me gusto y me ayudaste aunq no lo creas con un poco de mi trabajo, aunq poniendolo asi como energia cinética es lo q salio , no lo encuentro como energia y momento lineal me salen cosas como la dualidad pero no especifico, bueno seguire buscando pero gracias por todo

  3. kyalox said,

    ¡Oh! ¡Pues no sabes cuánto me sorprende y alegra que haya podido servir de ayuda a alguien! Francamente, no esperaba que pasase de simple divagación…si te ha parecido útil, genial ^^

    Respecto a lo que mencionas de “energía”, ¿a qué te refieres como energía tan sólo?

    Est sularis oth mithas

  4. Ignacia said,

    No me guto la pagina es muy chanta

  5. PAOLA said,

    Q GONORREEA DE PAGINA
    FUCHI

    • sumadre said,

      jajaja que gonorrea usted, yo creo que no entendió ni mierda, pobre

  6. yafreisi belen ramirez said,

    esta muy bn sta pagina!!!!!!!! gracias…….. a ella pude encontrar una tarea inportanticima…. para mi :)(:

  7. Anonimus said,

    Pero la derivada de E, sería: d(E)=m.v.a. Recuerda que se baja el exponente, se deja lo de dentro sin derivar y se multiplica por la derivada de lo de dentro…

  8. vedo said,

    encontré esto por que me puse a divagar tal como tú
    y si derivas dE/dx la energia a la posicion es d((mv^2)/2)/dx que es lo mismo que ma = F osea dE/dx=F

  9. Energia Cinetica said,

    Excelente la informacion que planteas en este articulo, la tendre en cuenta.te felicito por tu web

  10. AE. said,

    Sólo indicarte un lapsus. Dices: “la variación de la energía cinética con respecto al tiempo de una partícula es igual al momento de dicha partícula” Eso es más bien la potencia aplicada , Debería decir “la variación de la Ec con respecto a la velocidad…”

  11. Maricruz said,

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  12. Miguel Angel said,

    Esta mal!!! (El problema es que no saben derivar, recuerden la regla de la cadena) La derivada de la energía cinética, es el cambio de la energía del sistema con respecto del tiempo y eso es = P o sea potencia mecánica; el cambio en la energía cinética es igual al trabajo que realiza, trabajo es el producto escalar de la función desplazamiento por la fuerza, observar lo siguiente sea; K= 1/2 m *(x'(t)/dt)^2 => dK/dt= m *(x'(t)/dt) * x”(t) =>
    dK/dt= m*v*a
    => P= F*V (fuerza por velocidad)

    si realizan el análisis dimensional de eso obtienen las unidades de potencia, O.k
    Soy Físico…

  13. Luis said,

    la matematica no es un juego de letras, hay que darle sentido de lo que quieres hacer, si no sabes que es una derivada rigurosa, mejor callate, y continua con tus tareas de contador. Muy bien Miguel Angel said.

    • KyAlOx said,

      Bueno, gracias por tu comentario, ciertamente es un desastre :) esto lo escribí hace 6 años; ahora estoy haciendo el doctorado en Física de Partículas.

      En cualquier caso, ya que te has puesto agresivo con ese “cállate”, agradecería que no hubiera faltas de ortografía (“Matemática”*, “cállate”*”) :)

  14. Daniel Alejandro Rojas Toro said,

    Hola miguel, soy estudiante de química y llegó acá porque
    que se me ocurrió precisamente lo mismo y tratando de buscarle un sentido llegue aca. Quisiera saber si hallaste alguna razon sobre esa dicha relación entre el momento y la energía cinética, si la tienes, sería una molestia que me la pudieras explicar?

  15. Luis Alejandro said,

    Haz intentado derivando respecto a la energía potencial gravitacional, elastica o electromagnetica?

    • Luis Alejandro said,

      Que metida de pata perdón …. Quize decir derivar otras formas de energía respecto a la velocidad

  16. Mister_N said,

    Che no encontré errores, se me ocurrió lo mismo de curioso, cuando se lo mostré a una profesora de Física me hizo ver que cuando derivas respecto de la velocidad, como la energía cinética es UNA MAGNITUD ESCALAR, su derivada también lo va ser.
    O sea: si bien la expresión que se obtiene al derivar la energía cinética respecto de la velocidad es similar al del momento lineal, no hay que olvidar que el momento lineal es una MAGNITUD VECTORIAL.
    Así que en la ecuación (iii) la igualación p=d(EK)/dv no es correcta. De cualquier forma estuvo piola ver el artículo, dudo que leas esto, pero si lo ves saludos y nunca paremos de curiosear!

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